だかーぽな桜のめいぽ日記

オンラインゲーム「メイプルストーリー」のあんずサーバーで活動している桜の日記です(〃 ̄ー ̄〃)

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頻り(Lv3)

見事な心理トリック(笑)に誰もが騙された!

統計力学の問題です。答えは次回。

問題は(3)番なので、(3)番の途中までは解答を書きます。



問題
両端の固定された1本の弦が、ある温度のもとで熱による振動を行っている。そのような熱振動の様子を量子統計に基づいて考える。この弦の任意の振動(横波を考える)は角振動数ωの基本振動と、その高調波(角振動数2ω,3ω,・・・)の重ね合わせで表す事が出来る。基本振動およびその全ての高調波は互いに独立な調和振動子と考える事が出来る。これらの振動が温度Tで熱平衡状態にあるものとして以下の問いに答えよ。横波には2つの自由度があるが、この事については考慮する必要は無い。

(1)第m番目の高調波を1つの調和振動子と考えて、この高調波に対する分配関数Z(T)を量子統計に従って求めよ。

(2)第m番目の高調波の平均energyを温度Tの関数として求めよ。ただし、平均energyは第m番目の調和振動子の基底状態のenergy値から測るものとする。

(3)最大の平均energyを持つ高調波(m≧2)は第何番目の高調波か。




解答
(1)Z(T)=Σe^(-βH)      (Σは可能な全ての状態の和、Hは全energy)
=Σe^(-β(n+1/2)ħmω)      (Σはn=0~∞までの和)
=e^(-1/2*βħmω)*1/(1-e^(-βħmω))      (βħmω>0よりe^(-βħmω)≡x<1,Σx^n=1/(1-x)を用いた)
=(2sinh(1/2*ħωβm))^(-1)

(2)E=-∂/∂β(lnZ)-1/2*ħω      (1/2*ħωを引くのではなく(1)の分配関数で1/2*ħωを除いたものをZとして使っても結果は同じ)
=ħωm/(e^(ħωβm)-1)

(3)∂/∂m(E)=ħω*((1-ħωβm)e^(ħωβm)-1) / (e^(ħωβm)-1)^2
∂/∂m(E)=0とすると、e^(-ħωβm)=1-ħωβm
高調波の中で求めろと言われているので、答えはm≧2です。



さて、この続きはどうなるでしょうか?
 
 
 
 
 
 

テーマ:メイプルストーリー - ジャンル:日記

物理学 | コメント:0 |
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