だかーぽな桜のめいぽ日記

オンラインゲーム「メイプルストーリー」のあんずサーバーで活動している桜の日記です(〃 ̄ー ̄〃)

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公聴(Lv3)

こんにちは。

一般相対性理論で共変微分を習った時に全然気付かなかった、momentumの対応原理の話です。



Gauge Principle
まず自由電子のみの理論を考えます。
Dirac方程式を得るLagrangian密度は、
Maple1155
これはglobal(大域的な) gauge変換
Maple1161
の下で対称ですが、
local(局所的な) gauge変換
Maple1162
の下では不変ではありません。

そこで、共変微分
Maple1158
且つ
Maple1159
を要請する事で、local gauge transformationの下でも不変性を保つ事が出来ます。

この場Aが電磁potentialに対応していて、photonが生まれ、電磁interactionが生成される。
つまり、localなgauge対称性を課すと必然的にinteractionが生成される、というのがgauge principleです。

この共変微分を見ると、まさに電磁場がある時のmomentumの変換性になっているんですよね。
Maple1160

つまり、共変微分は量子力学的には電磁場の導入に対応していて、local gauge symmetryを課すためには(電磁)場の導入が必要である、と。
面白いですよね。
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死の鏡(Lv3)

こんにちは。

前回の問題はヒントが無いと方針がかなり難しいし、ヒントを出すとただの高校物理。

っていう面白くない問題でしたね;



まず、求めたいρ{m} , ρ{s} は、
4π/3*R{m}^3ρ{m} = M{m}
4π/3*R{s}^3ρ{s} = M{s}
大文字Rは星の半径、小文字rは円運動の半径とします。
ρ{m}/ρ{s} = M{m}/M{s} * R{s}^3/R{m}^3
= M{e}/80M{s} * R{s}^3/R{m}^3

月と太陽を直接比較する要素が無いので、公転で地球が媒介となっている事に着目します。
楕円運動は円運動で近似します。
M{m} r{m}ω{m}^2 = GM{e}M{m}/r{m}^2
M{e} r{e}ω{e}^2 = GM{s}M{e}/r{e}^2
ここで、地球の公転周期が1年、月の公転周期が約1か月である事は常識として知っていなければ解けません><
r{m}*(2π/T{m})^2 = GM{e}/r{m}^2
r{e}*(2π/T{e})^2 = GM{s}/r{e}^2
M{e}/M{s} = r{m}^3/r{e}^3 * T{e}^2/T{m}^2
= 144 * r{m}^3/r{e}^3

これを代入して、
ρ{m}/ρ{s} = 144/80 * r{m}^3/r{e}^3 * R{s}^3/R{m}^3

最後に、金環食が見えたという条件を使います。




Maple925

きったねぇ絵ですが、相似な三角形の性質から
r{m} :r{e} = R{m} :R{s}
となっている事が分かると思います。分からなかったら許さん!
赤が太陽、黄が月、青が地球としています。
r{m}*R{s} = r{e}*R{m}

よって、係数以外の所は全部消えて
ρ{m}/ρ{s} = 144/80 = 1.8
月の平均密度の方が高いという概算となり、現実ともだいたい合っています。







B型だから

日本の代表が血液型性格判断は流石に恥ずかしいからやめて欲しいですね・・・。

科・学・大・国・日・本!!!

外国には概念が無いから「B型だから?何言ってんのこの人?」で終了かもしれないけどw

まぁ、血液型性格判断がいかに差別的で最低であるか国民が理解できたのは良い事だったと言えますね。

そんなものは無い、人間心理の錯覚だ っていう事まで理解しなきゃ意味が無いわけだけど。。

心の中で「B型とかAB型の人可哀想・・・」って思うような最悪の事態に発展しないか心配です。

これに関しては「無い!」って理解しないとやばい。ゲルマニウム飲んで自分が死ぬんなら良・・くはないけど、血液型は他人をおとしめるから本当に最悪。

九州云々はもしかしたら文化としてあるのかどうなのか知らないですけど、B型の件は絶対にありません

血液型っていう言葉が科学っぽいから、皆さん「血液型占い」って言いましょうね!メディアが金儲けのために作ったお遊びだって分かるように。









第3問
ある系のエントロピーS(V,T)の全微分形が
dS = 4/3*T^3dV + 4VT^2dT
で与えられる時、エントロピーS(V,T)を求めよ。ただし、熱力学第三法則が成り立っているものとします。

 
 
 
 
 
 

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田舎嫌い(Lv3)

こんにちは。

大学院入試の問題が好評だったので第2問。

これも方針さえ分かれば高校物理の問題です。



問題
AさんとBさんはアフリカに金環食を見に行きました。金環食とは、日食の一種で太陽が月にほとんど隠れて、月の周囲に太陽の縁だけが金色の環のように見える現象です。
ふと好奇心旺盛なAさんは、固体で出来た月と、気体だけれども質量の大きい太陽、どちらの平均密度が高いか気になりました。Aさんは固体の月だと思い、Bさんは質量が大きい方が内部の圧力が高く密度も高くなっていると考え、太陽だと思いました。
どちらが正しいか判断するために、平均密度の比ρ{m}/ρ{s} を概算しなさい。{ } は下付き文字とします。{m} はmoon(月)、{s} はsun(太陽)、{e} はearth(地球)を表します。
ただし、地球の質量が月の質量の80倍である事は知っているものとします。




Maple921



ヒント1
・相対論ではなくNewton力学の範疇です。
・公転は楕円運動ですが、円運動で近似してみましょう。
・円運動の公式には角速度ωを使って、それをある量に変換します。
・その量の比は常識として知っていなければ解けません。分からなかったらヒント2で。
・金環食が見えたという条件も使います。
・以上の概算の仕方では、答えは約9/5or5/9のどちらかの数字が出てきます。









ヒント2
・ある量の比は12です。
・答えは約9/5=1.8となり、月の平均密度の方が大きいという結論になります。実際の値は約2.4で、オーダーは合っていると言えます。

 
 
 
 
 
 

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体調(Lv4)

某大学院入試の問題なんですけど皆さん出来てましたねw

前回の問題、実はあそこまで与えられたら高校生でも解けます。

というか、高校生の方が早く解けると思います。


①まず、関数形E(m)=ħωm/(e^(ħωβm)-1) から、明らかにE(m)はm≧0で単調減少、よって最大値はm=2です」糸冬

②まさか大学院入試の問題の(3)番が↑こんなに簡単なわけがないと思って、何も考えず定石で1回微分した人は多いのではないでしょうか?
その場合、m=0 で e^(-ħωβm) = 1-ħωβm ⇔ ∂/∂m(E)=0 を満たすので、E(m)はm=0で極値を取ります。
もう1回微分してもいいですけど計算がかなり面倒なので、答えm=∞ は有り得ないと考えて
とりあえずE(m)はm≧0で単調減少と仮定すれば答えだけは出ます。



なぜ高校生の方が簡単に解けるかと言うと、物理の知識がある人はm≧2という条件に縛られて

まず m≧2 の範囲で e^(-ħωβm) = 1-ħωβm の解を物理的に探そうとする(人が少なからず居る)んですよね。

(1-ħωβm)*e^(ħωβm) -1 =0 として、β>>1またはm>>1の場合を考えて左辺の -1 を 0 に近似したり、

e^(-ħωβm) = 1-ħωβm はexponentialの1次までのMaclaurin展開になっているから、ħωβ<<1の場合を考えてm~2と考えたり。


①まさか大学院入試の問題が一瞬で解けるとは思わない。②m≧2という条件に拘ってしまったらout.

という2つの罠(笑)があったわけです。




すぐ近似してしまうのは物理学の宿命ですね。

だから数学者に「美しくない」と言われます^^;

何でも有りで論理を展開できる数学とは違って、この世の中の法則に合うような論理体系を作らなきゃ行けないんだから
美しくないのは当たり前なんですけどね。

むしろそれを論理(数学)で作れた事自体が美しいのです(キリッ
 
 
 
 
 
 

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右翼(Lv3)

時間が無いので答えだけ。

前回の問題、実はあそこまで与えられたら高校生でも解けて

答えは m=2 です。
 
 
 
 
 
 

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